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Pruriti Scientifici: i numeri poligonali. Di Ilia Musco

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“Tut­to è numero”

Pita­go­ra (575 a.C. – 495 a.C.)

Dopo aver trat­ta­to negli ulti­mi tre arti­co­li del­la for­za di gra­vi­tà, del­la teo­ria di Ein­stein e dei buchi neri, cam­bia­mo deci­sa­men­te argo­men­to par­lan­do di nume­ri e di geo­me­tria.

Il col­le­ga­men­to in mate­ma­ti­ca tra cal­co­lo nume­ri­co e rap­pre­sen­ta­zio­ne geo­me­tri­ca è for­tis­si­mo e di gran­de importanza.

Infat­ti, da un lato, gra­zie ai pro­ce­di­men­ti ana­li­ti­ci e com­pu­ta­zio­na­li, svol­gia­mo i cal­co­li neces­sa­ri per tro­va­re la solu­zio­ne di un deter­mi­na­to pro­ble­ma, dall’altro andia­mo a stu­dia­re la solu­zio­ne otte­nu­ta con una rap­pre­sen­ta­zio­ne gra­fi­ca che ci per­met­te di aver­ne una visio­ne di insie­me che spes­so è essen­zia­le per inter­pre­tar­ne il significato.

Uti­liz­zan­do la geo­me­tria, il sim­bo­li­smo mate­ma­ti­co rive­la ai nostri occhi i segre­ti che si nascon­do­no die­tro for­mu­le ed equa­zio­ni, gui­dan­do la men­te del ricer­ca­to­re ver­so la com­pren­sio­ne del­la natura.

Nel­la cul­tu­ra occi­den­ta­le que­sta visio­ne ha avu­to un gran­de svi­lup­po gra­zie agli anti­chi Gre­ci, la cui cul­tu­ra, arte e filo­so­fia sono sta­te for­te­men­te influen­za­te dal­lo stu­dio dei nume­ri e del loro signi­fi­ca­to. Pita­go­ra, Archi­me­de, Eucli­de, Tale­te, Eudos­so, Zeno­ne, Pla­to­ne, sono solo alcu­ni tra i nomi più cono­sciu­ti: gran­di stu­dio­si di mate­ma­ti­ca oltre che impor­tan­ti filo­so­fi, dei qua­li stu­dia­mo anco­ra oggi il pensiero.

Nell’antichità esse­re filo­so­fi signi­fi­ca­va cono­sce­re e ricer­ca­re in ogni cam­po del sape­re, dal­la medi­ci­na alla let­te­ra­tu­ra, dal­la mate­ma­ti­ca all’astronomia, dal­lo stu­dio del­la psi­che a quel­lo dell’ani­ma. Tut­to era col­le­ga­to. Macro­co­smo e micro­co­smo dove­va­no rispon­de­re alle mede­si­me leg­gi. Stu­dia­re uno impli­ca­va com­pren­de­re anche l’altro.

L’argomento spe­ci­fi­co di que­sto arti­co­lo riguar­da la pro­prie­tà geo­me­tri­ca dei cosid­det­ti nume­ri natu­ra­li – quel­li che usia­mo per con­ta­re gli ogget­ti (1, 2, 3, 4, 5, …) – i qua­li pos­so­no esse­re rap­pre­sen­ta­ti tra­mi­te diver­se figu­re geo­me­tri­che: trian­go­lo, qua­dra­to, pen­ta­go­no, e così via. Si par­la quin­di di nume­ri trian­go­la­ri, qua­dra­ti, pen­ta­go­na­li, etc. In gene­ra­le, nume­ri poligonali.

I nume­ri trian­go­la­ri in par­ti­co­la­re, ana­liz­za­ti per pri­mi dai Pita­go­ri­ci, sono quel­li che pos­so­no esse­re rap­pre­sen­ta­ti dispo­nen­do i suoi ele­men­ti su una gri­glia rego­la­re dal­la for­ma di un trian­go­lo equi­la­te­ro. In figu­ra pos­sia­mo vede­re i pri­mi cin­que nume­ri di que­sto insie­me (1, 3, 6, 10, 15) e pos­sia­mo osser­va­re che i nume­ri di que­sta suc­ces­sio­ne si otten­go­no som­man­do tra di loro i nume­ri naturali.

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Per costrui­re i nume­ri trian­go­la­ri pos­sia­mo cioè pro­ce­de­re come segue:

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L’n‑esimo nume­ro trian­go­la­re, che indi­chia­mo con Tn, si può cal­co­la­re con la for­mu­la di Gauss.

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All’interno del­la scuo­la Pita­go­ri­ca, dove si veni­va ini­zia­ti alle cono­scen­ze riguar­dan­ti la vita e l’universo, il nume­ro 10, quar­to nel­la suc­ces­sio­ne dei nume­ri trian­go­la­ri, è sim­bo­li­ca­men­te ric­co di signi­fi­ca­ti. Era con­si­de­ra­to nume­ro sacro e per­fet­to, in quan­to som­ma dei pri­mi quat­tro nume­ri natu­ra­li (10 = 1 + 2 + 3 + 4) che rap­pre­sen­ta­no, in fisi­ca, i quat­tro ele­men­ti e, in geo­me­tria, le dimen­sio­ni del­lo spa­zio: pun­to (dimen­sio­ne 0), linea (dimen­sio­ne 1), super­fi­cie (dimen­sio­ne 2), volu­me (dimen­sio­ne 3). Tali nume­ri (1, 2, 3, 4) ven­go­no rap­pre­sen­ta­ti gra­fi­ca­men­te come pun­ti alli­nea­ti e sovrap­po­sti, for­man­do così un trian­go­lo equi­la­te­ro chia­ma­to Tetrak­tis per­ché ogni lato è costi­tui­to da 4 punti.

In figu­ra, la “Tetrac­tis pita­go­ri­ca” costrui­ta secon­do il teo­re­ma di Tale­te, sul­la qua­le i Pita­go­ri­ci face­va­no i loro giuramenti.

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Con­ti­nuan­do con l’arit­mo­geo­me­tria svi­lup­pa­ta dai pita­go­ri­ci pos­sia­mo pas­sa­re dai nume­ri trian­go­la­ri a quel­li qua­dra­ti (1, 4, 9, 16), che indi­chia­mo con Qn, la cui suc­ces­sio­ne si ottie­ne sem­pli­ce­men­te con l’operazione dell’elevamento al quadrato.

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A que­sto pun­to, come si com­pren­de­rà, la costru­zio­ne dei nume­ri poli­go­na­li pro­ce­de pas­san­do ai nume­ri pen­ta­go­na­li, esa­go­na­li, e via di segui­to, in un per­cor­so sen­za fine che è rias­sun­to nel­la tabel­la a que­sto link.

Pos­sia­mo osser­va­re che il nume­ro 1, essen­do gra­fi­ca­men­te rap­pre­sen­ta­to da un pun­to, ha la pro­prie­tà di appar­te­ne­re ad ogni suc­ces­sio­ne di nume­ri poli­go­na­li, di cui è anche il pri­mo, l’origine.

L’Uno è il prin­ci­pio di Uni­tà, per­mea tut­ta la filo­so­fia, rap­pre­sen­ta il divi­no nel lin­guag­gio dei neo­pla­to­ni­ci; la Mona­de degli anti­chi gre­ci (ripre­sa suc­ces­si­va­men­te da Leib­niz), che nel­la dot­tri­na pita­go­ri­ca dà ori­gi­ne alla mol­te­pli­ci­tà, rap­pre­sen­ta­ta da tut­ti gli altri numeri.

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12 Comments

  1. GUIDO ha detto:

    😈

  2. Sciuscia ha detto:

    Wow, non cre­de­vo che si sareb­be par­la­to anche di mate­ma­ti­ca… ottimo 🙂 .

    • Ilia ha detto:

      E vedrai che le sor­pre­se non sono finite! 

      Comun­que di mate­ma­ti­ca e geo­me­tria ave­vo già par­la­to nel pri­mo arti­co­lo di que­sta rubri­ca, a pro­po­si­to dei Soli­di Platonici.

      Gra­zie per l’apprezzamento. 😯

      • Sciuscia ha detto:

        Ehi, è vero. Mi ero per­so die­tro alla gra­vi­tà. O al di là di un oriz­zon­te eventuale?
        XD

  3. Fede ha detto:

    Un gran­de Mae­stro affer­ma che tut­to, con­sa­pe­vol­men­te o meno, va ver­so l’Uno…
    Ciao Ilia

  4. Franz ha detto:

    Que­sto è un bel­l’ar­ti­co­lo, nul­la da dire! E il fat­to che i nume­ri ven­ga­no mes­si in cor­ri­spon­den­za anche visi­va con figu­re geo­me­tri­che in que­sto modo mi pare par­ti­co­lar­men­te interessante!

  5. Il Veronesi ha detto:

    Ilia, vole­vo far­ti i com­pli­men­ti da un pez­zo, ma dopo aver let­to que­sto non pote­vo più riman­da­re: otti­mo dav­ve­ro. Que­st’ul­ti­mo in par­ti­co­la­re l’ho tro­va­to dav­ve­ro affa­sci­nan­te. Com­pli­men­ti di nuo­vo (e cre­di­mi, riu­sci­re a far­si fare i com­pli­men­ti da un rom­pi bal­le come me non è da tutti…).

  6. francesco musco ha detto:

    sei Ilia il figlio di Guido ?