>

Frattali e dintorni

Come det­to in un post pre­ce­den­te, il ter­mi­ne “frat­ta­le” nasce nel 1975 a segui­to del lavo­ro ese­gui­to da Benoit Man­del­brot nel cam­po del­lo stu­dio del caos e dei siste­mi dina­mi­ci.

Un frat­ta­le è un ogget­to geo­me­tri­co tale per cui la sua for­ma si ripe­te a qua­lun­que livel­lo di ingran­di­men­to. Tale pro­prie­tà vie­ne defi­ni­ta auto­so­mi­glian­za.

In real­tà que­sti ogget­ti era­no già noti dagli anni ’20, per gli stu­di con­dot­ti da Gaston Julia e Pier­re Fatou nel cam­po del­le fun­zio­ni olo­mor­fe; solo che a que­sti due signo­ri man­ca­va la poten­za di cal­co­lo neces­sa­ria per appro­fon­di­re le loro ricer­che.

Diver­sa fu la sor­te per Man­del­brot che inve­ce ave­va a dispo­si­zio­ne la poten­za di cal­co­lo dei più gros­si ela­bo­ra­to­ri IBM dell’epoca.

Gli ogget­ti frat­ta­li sono mol­to inte­res­san­ti per i mate­ma­ti­ci impe­gna­ti nel­l’a­na­li­si del­la teo­ria del caos in quan­to le strut­tu­re impli­ca­te si tro­va­no spes­so in natu­ra. Un cavol­fio­re, ad esem­pio, ha una strut­tu­ra frat­ta­le, come un gira­so­le, un nau­ti­lo etc. etc. Logi­co quin­di che l’in­te­res­se sia piut­to­sto elevato.

Per com­pren­de­re i frat­ta­li occor­re par­ti­re dal­la defi­ni­zio­ne di nume­ro imma­gi­na­rio, quel­la stra­na enti­tà defi­ni­ta come mul­ti­plo del­l’u­ni­tà imma­gi­na­ria, ovve­ro le solu­zio­ni all’e­qua­zio­ne x2+1 = 0

Al di là del­l’a­lea­to­rie­tà di tali enti alge­bri­ci, dai nume­ri imma­gi­na­ri deri­va­no i nume­ri com­ples­si, cioè for­ma­ti da una par­te rea­le e una imma­gi­na­ria. Lo stu­dio dei frat­ta­li è sta­to ese­gui­to pro­prio nel cam­po di que­sti ultimi.

In un pia­no, ogni pun­to può esse­re iden­ti­fi­ca­to da due coor­di­na­te x e y. Se voglia­mo iden­ti­fi­ca­re un insie­me di pun­ti abbia­mo due pos­si­bi­li­tà; costrui­re una tabel­la che elen­chi tut­ti i pun­ti (ma in que­sto modo pos­sia­mo descri­ve­re solo figu­re “chiu­se” ovve­ro non infi­ni­te), oppu­re costrui­re una for­mu­la tale che leghi assie­me il com­por­ta­men­to del­le coor­di­na­te X e Y, una in fun­zio­ne del­l’al­tra. Otte­nia­mo quin­di una fun­zio­ne y = f(x) tale per cui ad ogni valo­re di x ne cor­ri­spon­de un altro di y.

Per trac­cia­re la figu­ra rap­pre­sen­ta­ta da que­sta fun­zio­ne occor­re­ran­no degli stru­men­ti mate­ma­ti­ci for­ni­ti da quel­l’a­spet­to del­l’a­na­li­si mate­ma­ti­ca defi­ni­to appun­to stu­dio di funzioni

Per fare l’e­sem­pio più sem­pli­ce pos­si­bi­le, una ret­ta oriz­zon­ta­le vie­ne defi­ni­ta con la for­mu­la y = n dove y è la varia­bi­le e n una costan­te che deter­mi­na l’al­tez­za del­la ret­ta rispet­to all’as­se orizzontale.

Nel caso dei frat­ta­li, la figu­ra vie­ne descrit­ta da una for­mu­la (abba­stan­za semplice):

yn + 1 = yn2 + x

dove y e x però sono nume­ri com­ples­si. Il cal­co­lo del­la for­mu­la vie­ne ese­gui­to rei­te­ran­do l’o­pe­ra­zio­ne un nume­ro n di vol­te. Ad ogni rical­co­lo (che vie­ne ali­men­ta­to dai risul­ta­ti del pre­ce­den­te), la figu­ra frat­ta­le va defi­nen­do­si sem­pre di più.

Il tipi­co frat­ta­le (piut­to­sto famo­so) è l’in­sie­me di Man­del­brot. Pren­den­do un pun­to di que­sto insie­me, otter­re­mo del­le coor­di­na­te che, se sot­to­po­ste nuo­va­men­te all’i­te­ra­zio­ne sopra det­ta, gene­re­ran­no un ingran­di­men­to di quel­la zona, che risul­te­rà estre­ma­men­te simi­le alla precedente.

L’o­pe­ra­zio­ne è ripe­ti­bi­le teo­ri­ca­men­te all’in­fi­ni­to anche se in pra­ti­ca è limi­ta­ta dal pote­re di sepa­ra­zio­ne del­l’oc­chio uma­no e, anco­ra pri­ma, dal­la capa­ci­tà di ela­bo­ra­zio­ne del com­pu­ter uti­liz­za­to che ad un cer­to pun­to non riu­sci­rà più ad ela­bo­ra­re nume­ri in cui la par­te deci­ma­le è così complicata.

L’al­go­rit­mo inte­rat­ti­vo frat­ta­le vie­ne usa­to, ad esem­pio, in mol­tis­si­me appli­ca­zio­ni gra­fi­che. La mag­gior par­te dei pro­gram­mi 3D uti­liz­za­ti nel­la com­pu­ter gra­fi­ca uti­liz­za­no algo­rit­mi frat­ta­li per la rea­liz­za­zio­ne dei poli­go­ni neces­sa­ri al ren­de­ring del­le figu­re e anche mol­ti pro­gram­mi di simu­la­zio­ne ambien­ta­le li impie­ga­no a fondo.

Qual­che anno fa un cuo­re arti­fi­cia­le impian­ta­bi­le è sta­to rea­liz­za­to sul­la base di un model­lo gene­ra­to dal­la mate­ma­ti­ca frattale.

Se vi inte­res­sa l’ar­go­men­to pote­te visi­ta­re que­sto link, un ring inte­ra­men­te dedi­ca­to agli ogget­ti frat­ta­li e ric­co di risorse.

Con­di­vi­di

4 Comments

  1. Sciuscia ha detto:

    Miti­ci, i frattali.
    Franz, ma te che stu­di hai fatto..?

    • franz ha detto:

      Un po’ di inge­gne­ria di qui… un po’ di infor­ma­ti­ca di là… qual­che libro let­to qui… qual­che libro let­to là… :smirk:

  2. Ella ha detto:

    bel­li ma non capi­sco coda sono quel­la spe­cie di fila­men­ti di col­le­ga­men­to con le ite­ra­zio­ni o copie mino­ri del cardoite.Visto che sei pro­prio bra­vo me li sai spie­ga­re in paro­le pove­re? Gra­zie infi­ni­te! Ciao. Ella

    • Francesco Franz Amato ha detto:

      Ciao Ella. Io ci pro­vo ma la real­tà è che non c’è pro­prio nul­la da spie­ga­re! Il Car­dioi­de (per gli altri che leg­go­no si trat­ta del­l’im­ma­gi­ne clas­si­ca dei frat­ta­li, ovve­ro la rap­pre­sen­ta­zio­ne gra­fi­ca del­l’in­sie­me di Man­del­brot) altro non è che il dise­gno di una fun­zio­ne, del­lo stes­so tipo di una para­bo­la o di un cer­chio o altre figu­re geometriche.
      I “fila­men­ti” non han­no una loro sostan­za, così come non ne ha qua­lun­que altro pun­to del­l’im­ma­gi­ne. Sem­pli­ce­men­te, quel­la è la rap­pre­sen­ta­zio­ne gra­fi­ca del­l’in­sie­me in quei punti.
      Quin­di non esi­ste nul­la da spie­ga­re, allo stes­so modo in cui non c’è nul­la da spie­ga­re nel dise­gno di una para­bo­la o di una ret­ta. I frat­ta­li sono stru­men­ti (o enti­tà se voglia­mo) di tipo mate­ma­ti­co, che han­no come carat­te­ri­sti­ca prin­ci­pa­le l’au­to­so­mi­glian­za ricor­si­va del­la pro­pria strut­tu­ra. Quan­do que­sta vie­ne resa visi­bi­le con un “gra­fi­co di fun­zio­ne”, si gene­ra qual­co­sa che ha un for­te effet­to sul­la nostra atten­zio­ne. In real­tà que­sto avvie­ne per­chè l’au­to­so­mi­glian­za è una leg­ge di natu­ra, una sor­te di costan­te. Quin­di ci col­pi­sce con mol­ta forza!