Pruriti Scientifici: i numeri poligonali. Di Ilia Musco

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“Tutto è numero”

Pitagora (575 a.C. – 495 a.C.)

Dopo aver trattato negli ultimi tre articoli della forza di gravità, della teoria di Einstein e dei buchi neri, cambiamo decisamente argomento parlando di numeri e di geometria.

Il collegamento in matematica tra calcolo numerico e rappresentazione geometrica è fortissimo e di grande importanza.

Infatti, da un lato, grazie ai procedimenti analitici e computazionali, svolgiamo i calcoli necessari per trovare la soluzione di un determinato problema, dall’altro andiamo a studiare la soluzione ottenuta con una rappresentazione grafica che ci permette di averne una visione di insieme che spesso è essenziale per interpretarne il significato.

Utilizzando la geometria, il simbolismo matematico rivela ai nostri occhi i segreti che si nascondono dietro formule ed equazioni, guidando la mente del ricercatore verso la comprensione della natura.

Nella cultura occidentale questa visione ha avuto un grande sviluppo grazie agli antichi Greci, la cui cultura, arte e filosofia sono state fortemente influenzate dallo studio dei numeri e del loro significato. Pitagora, Archimede, Euclide, Talete, Eudosso, Zenone, Platone, sono solo alcuni tra i nomi più conosciuti: grandi studiosi di matematica oltre che importanti filosofi, dei quali studiamo ancora oggi il pensiero.

Nell’antichità essere filosofi significava conoscere e ricercare in ogni campo del sapere, dalla medicina alla letteratura, dalla matematica all’astronomia, dallo studio della psiche a quello dell’anima. Tutto era collegato. Macrocosmo e microcosmo dovevano rispondere alle medesime leggi. Studiare uno implicava comprendere anche l’altro.

L’argomento specifico di questo articolo riguarda la proprietà geometrica dei cosiddetti numeri naturali – quelli che usiamo per contare gli oggetti (1, 2, 3, 4, 5, …) – i quali possono essere rappresentati tramite diverse figure geometriche: triangolo, quadrato, pentagono, e così via. Si parla quindi di numeri triangolari, quadrati, pentagonali, etc. In generale, numeri poligonali.


I numeri triangolari in particolare, analizzati per primi dai Pitagorici, sono quelli che possono essere rappresentati disponendo i suoi elementi su una griglia regolare dalla forma di un triangolo equilatero. In figura possiamo vedere i primi cinque numeri di questo insieme (1, 3,  6, 10, 15) e possiamo osservare che i numeri di questa successione si ottengono sommando tra di loro i numeri naturali.

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Per costruire i numeri triangolari possiamo cioè procedere come segue:

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L’n-esimo numero triangolare, che indichiamo con Tn, si può calcolare con la formula di Gauss.

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All’interno della scuola Pitagorica, dove si veniva iniziati alle conoscenze riguardanti la vita e l’universo, il numero 10, quarto nella successione dei numeri triangolari, è simbolicamente ricco di significati. Era considerato numero sacro e perfetto, in quanto somma dei primi quattro numeri naturali (10 = 1 + 2 + 3 + 4) che rappresentano, in fisica, i quattro elementi e, in geometria, le  dimensioni dello spazio:  punto (dimensione 0), linea (dimensione 1), superficie (dimensione 2), volume (dimensione 3).  Tali numeri (1, 2, 3, 4) vengono rappresentati graficamente come punti allineati e sovrapposti, formando così un triangolo equilatero chiamato Tetraktis perché ogni lato è costituito da 4 punti.

In figura, la “Tetractis pitagorica” costruita secondo il teorema di Talete, sulla quale i Pitagorici facevano i loro giuramenti.

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Continuando con l’aritmogeometria sviluppata dai pitagorici possiamo passare dai numeri triangolari a quelli quadrati (1, 4, 9, 16), che indichiamo con Qn, la cui successione si ottiene semplicemente con l’operazione dell’elevamento al quadrato.


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A questo punto, come si comprenderà, la costruzione dei numeri poligonali procede passando ai numeri pentagonali, esagonali, e via di seguito, in un percorso senza fine che è riassunto nella tabella a questo link.

Possiamo osservare che il numero 1, essendo graficamente rappresentato da un punto, ha la proprietà di appartenere ad ogni successione di numeri poligonali, di cui è anche il primo, l’origine.

L’Uno è il principio di Unità, permea tutta la filosofia, rappresenta il divino nel linguaggio dei neoplatonici; la Monade degli antichi greci (ripresa successivamente da Leibniz), che nella dottrina pitagorica dà origine alla molteplicità, rappresentata da tutti gli altri numeri.

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12 Comments

  1. GUIDO ha detto:

    😈

  2. Sciuscia ha detto:

    Wow, non credevo che si sarebbe parlato anche di matematica… ottimo 🙂 .

    • Ilia ha detto:

      E vedrai che le sorprese non sono finite!

      Comunque di matematica e geometria avevo già parlato nel primo articolo di questa rubrica, a proposito dei Solidi Platonici.

      Grazie per l’apprezzamento. 😯

  3. Fede ha detto:

    Un grande Maestro afferma che tutto, consapevolmente o meno, va verso l’Uno…
    Ciao Ilia

  4. Franz ha detto:

    Questo è un bell’articolo, nulla da dire! E il fatto che i numeri vengano messi in corrispondenza anche visiva con figure geometriche in questo modo mi pare particolarmente interessante!

  5. Il Veronesi ha detto:

    Ilia, volevo farti i complimenti da un pezzo, ma dopo aver letto questo non potevo più rimandare: ottimo davvero. Quest’ultimo in particolare l’ho trovato davvero affascinante. Complimenti di nuovo (e credimi, riuscire a farsi fare i complimenti da un rompi balle come me non è da tutti…).

  6. francesco musco ha detto:

    sei Ilia il figlio di Guido ?

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