Frattali e dintorni

1199470037584_newyorkcopiaCome detto in un post precedente, il termine “frattale” nasce nel 1975 a seguito del lavoro eseguito da Benoit Mandelbrot nel campo dello studio del caos e dei sistemi dinamici.

Un frattale è un oggetto geometrico tale per cui la sua forma si ripete a qualunque livello di ingrandimento. Tale proprietà viene definita autosomiglianza.

In realtà questi oggetti erano già noti dagli anni ’20, per gli studi condotti da Gaston Julia e Pierre Fatou nel campo delle funzioni olomorfe; solo che a questi due signori mancava la potenza di calcolo necessaria per approfondire le loro ricerche.

Diversa fu la sorte per Mandelbrot che invece aveva a disposizione la potenza di calcolo dei più grossi elaboratori IBM dell’epoca.

Gli oggetti frattali sono molto interessanti per i matematici impegnati nell’analisi della teoria del caos in quanto le strutture implicate si trovano spesso in natura. Un cavolfiore, ad esempio, ha una struttura frattale, come un girasole, un nautilo etc. etc. Logico quindi che l’interesse sia piuttosto elevato.

Per comprendere i frattali occorre partire dalla definizione di numero immaginario, quella strana entità definita come multiplo dell’unità immaginaria, ovvero le soluzioni all’equazione x2+1 = 0

Al di là dell’aleatorietà di tali enti algebrici, dai numeri immaginari derivano i numeri complessi, cioè formati da una parte reale e una immaginaria. Lo studio dei frattali è stato eseguito proprio nel campo di questi ultimi.

In un piano, ogni punto può essere identificato da due coordinate x e y. Se vogliamo identificare un insieme di punti abbiamo due possibilità; costruire una tabella che elenchi tutti i punti (ma in questo modo possiamo descrivere solo figure “chiuse” ovvero non infinite), oppure costruire una formula tale che leghi assieme il comportamento delle coordinate X e Y, una in funzione dell’altra. Otteniamo quindi una funzione y = f(x) tale per cui ad ogni valore di x ne corrisponde un altro di y.

Per tracciare la figura rappresentata da questa funzione occorreranno degli strumenti matematici forniti da quell’aspetto dell’analisi matematica definito appunto studio di funzioni

Per fare l’esempio più semplice possibile, una retta orizzontale viene definita con la formula y = n dove y è la variabile e n una costante che determina l’altezza della retta rispetto all’asse orizzontale.

Nel caso dei frattali, la figura viene descritta da una formula (abbastanza semplice):

yn + 1 = yn2 + x

dove y e x però sono numeri complessi. Il calcolo della formula viene eseguito reiterando l’operazione un numero n di volte. Ad ogni ricalcolo (che viene alimentato dai risultati del precedente), la figura frattale va definendosi sempre di più.

Il tipico frattale (piuttosto famoso) è l’insieme di Mandelbrot. Prendendo un punto di questo insieme, otterremo delle coordinate che, se sottoposte nuovamente all’iterazione sopra detta, genereranno un ingrandimento di quella zona, che risulterà estremamente simile alla precedente.

L’operazione è ripetibile teoricamente all’infinito anche se in pratica è limitata dal potere di separazione dell’occhio umano e, ancora prima, dalla capacità di elaborazione del computer utilizzato che ad un certo punto non riuscirà più ad elaborare numeri in cui la parte decimale è così complicata.

L’algoritmo interattivo frattale viene usato, ad esempio,  in moltissime applicazioni grafiche. La maggior parte dei programmi 3D utilizzati nella computer grafica utilizzano algoritmi frattali per la realizzazione dei poligoni necessari al rendering delle figure e anche molti programmi di simulazione ambientale li impiegano a fondo.

Qualche anno fa un cuore artificiale impiantabile è stato realizzato sulla base di un modello generato dalla matematica frattale.

Se vi interessa l’argomento potete visitare questo link, un ring interamente dedicato agli oggetti frattali e ricco di risorse.

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4 Comments

  1. Sciuscia ha detto:

    Mitici, i frattali.
    Franz, ma te che studi hai fatto..?

    • franz ha detto:

      Un po’ di ingegneria di qui… un po’ di informatica di là… qualche libro letto qui… qualche libro letto là… :smirk:

  2. Ella ha detto:

    belli ma non capisco coda sono quella specie di filamenti di collegamento con le iterazioni o copie minori del cardoite.Visto che sei proprio bravo me li sai spiegare in parole povere? Grazie infinite! Ciao. Ella

    • Francesco Franz Amato ha detto:

      Ciao Ella. Io ci provo ma la realtà è che non c’è proprio nulla da spiegare! Il Cardioide (per gli altri che leggono si tratta dell’immagine classica dei frattali, ovvero la rappresentazione grafica dell’insieme di Mandelbrot) altro non è che il disegno di una funzione, dello stesso tipo di una parabola o di un cerchio o altre figure geometriche.
      I “filamenti” non hanno una loro sostanza, così come non ne ha qualunque altro punto dell’immagine. Semplicemente, quella è la rappresentazione grafica dell’insieme in quei punti.
      Quindi non esiste nulla da spiegare, allo stesso modo in cui non c’è nulla da spiegare nel disegno di una parabola o di una retta. I frattali sono strumenti (o entità se vogliamo) di tipo matematico, che hanno come caratteristica principale l’autosomiglianza ricorsiva della propria struttura. Quando questa viene resa visibile con un “grafico di funzione”, si genera qualcosa che ha un forte effetto sulla nostra attenzione. In realtà questo avviene perchè l’autosomiglianza è una legge di natura, una sorte di costante. Quindi ci colpisce con molta forza!

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